Yhdenvertaisuusperiaatteen merkitys
(Kirjoitus on julkaistu alun perin 29.3.2024.)
On valtava määrä mahdollisia fysiikan teorioita. Fyysikoilla on erilaisia keinoja sen setvimiseksi, mitkä niistä kuvaavat todellisuutta. Havainnoilla on ratkaiseva rooli, mutta ne eivät riitä. Joskus havainnot ovat väärässä, ja yleensä vaihtoehtoja pitää karsia jo ennen havaintoihin vertaamista; joskus taasen on vaikea löytää ainuttakaan sopivaa teoriaa.
Yksi apuväline on symmetria, toinen on se, että mietitään jotain yleisiä periaatteita ennen kuin muotoillaan mitään matemaattisesti.
Yleinen suhteellisuusteoria on hyvä esimerkki. Albert Einsteinin pohdinnoissakeskeisiä olivat ideat nimeltä heikko ekvivalenssiperiaate ja vahva ekvivalenssiperiaate. Nämä koukeroiset nimet viittaavat siihen, että gravitaatio vaikuttaa kaikkien liikkeisiin samalla tavalla ja että paikallisesti liike gravitaation alaisena on sama kuin paikallaan oleminen.
Näitä ideoita havainnollistaa Einsteinin ajatuskoe hissistä. Jos vaijeri katkeaa, niin minkä havaintojen pohjalta voi erottaa, onko vapaassa pudotuksessa vai paikallaan? (Ajatuskoe tehtiin 1900-luvun alussa; nykyäänhän hissit eivät putoa vaikka vaijeri menisi rikki.) Tällöinhän ihminen leijuu ilmassa kuin olisi painoton.
Heikon ekvivalenssiperiaatteen mukaan vapaata pudotusta ja lepoa ei voi erottaa siitä, miten kappaleet liikkuvat hississä, koska ne kaikki putoavat (tai ovat levossa) samalla tavalla. Olen kirjoittanut siitä tarkemmin täällä. Pelkkää gravitaatiota käyttämällä ei siis ole paikallisesti mahdollista erottaa onko vapaassa pudotuksessa vai levossa.
Vahvan ekvivalenssiperiaatteen mukaan eroa ei voi tehdä muidenkaan fysiikan vuorovaikutusten kuin gravitaation avulla – kuten tutkimalla vaikkapa sitä, miten atomit käyttäytyvät tai sähkölaitteet toimivat; kaikki menee kuten levossa olisi.
Einstein etsi matemaattista rakennetta, joka toteuttaisi nämä periaatteet. Hän päätyi siihen, että gravitaatiossa ei ole kyse voimasta, vaan aika-avaruuden kaarevuudesta. Aine kaareuttaa aika-avaruutta, ja kappaleet joihin ei vaikuta voimia, liikkuvat suorilla viivoilla kaarevassa aika-avaruudessa.
Nyt heikko ekvivalenssiperiaate ei ole enää ylimääräinen oletus tai outo asia selitettäväksi, vaan aivan ilmeinen asia. Kun kaikki liikkuvat suoria viivoja pitkin, miten liikkeissä voisi olla eroa? Tämä on esimerkki siitä, miten samalla kun fysiikan teorioiden kehitys kulkee kohti matemaattista hienostuneisuutta, niissä olevien oletusten määrä putoaa, ja asioista tulee teorian puitteissa yksinkertaisempia.
Vahva ekvivalenssiperiaate liittyy yleisessä suhteellisuusteoriassa siihen, että aika-avaruuden kaarevuus ilmenee vain aika-avaruuden paikkojen suhteissa, ei paikallisesti. Tämä on helppo ymmärtää ajattelemalla kaarevaa avaruutta, vaikka pallon pintaa.
Pallon yhdessä pisteessä ei voi erottaa, onko kaarevalla vai tasaisella pinnalla. Jos ajattelee tasoa, joka koskettaa palloa vain tässä pisteessä, niin kyseisessä pisteessä voi olla yhtä hyvin pallolla kuin tuossa tasossa. Pallo on siis paikallisesti tasainen. Jossain toisessa pisteessä on toinen taso, joka koskettaa palloa vain siinä pisteessä. Pallopinta koostuu äärettömästä määrästä tasoja, jotka on nivottu yhteen.
Asiaa voi hahmottaa ajattelemalla pallopinnan yhä tarkempaa mallintamista. Ensin palloa voi karkeasti kuvata kuutiolla, missä on kuusi tasoa, sitten dodekahedrillä, missä on kaksitoista tasoa, ja niin edelleen. Tasojen määrän kasvaessa kappale kuvaa yhä tarkemmin palloa, ja kun tasoja on äärettömän monta, se on täsmälleen pallo. Samalla tavalla voi kuvata minkä tahansa pinnan muodon. Jos pallon pinta ei ole tasainen, vaan siinä on kupruja, niin tasot nivoutuvat toisiinsa eri tavalla.
Yleisen suhteellisuusteorian aika-avaruus on samanlainen. Siinä on äärettömän monta tasaista aika-avaruutta nivottuna yhteen siten, että kokonaisuus on kaareva. Tämän hahmottaminen on vaikeampaa kuin pallopinnan kaarevuuden, koska ulottuvuuksia on neljä kahden sijaan, ja yksi niistä on aika. Rakenne on kuitenkin sama: paikallisesti aika-avaruus on tasainen, kaarevuudessa on kyse paikkojen välisestä suhteesta.
Fysiikan ilmiöiden –vaikkapa atomien värähtelyn tai valon liikkeen– kannalta tämä tarkoittaa sitä, että niitä kuvaavat yhtälöt ovat yhdessä pisteessä samanlaisia kuin siinä tapauksessa, että gravitaatiota ei ole. Kaarevuus näkyy vain kun katsotaan miten asiat muuttuvat kun siirrytään avaruudessa tai kun aika kuluu.
Esimerkiksi jos hissi on tarpeeksi iso (tai mittalaite riittävän tarkka), niin lähettämällä valoa hissin pohjasta kattoon voi selvittää onko aika-avaruus kaareva vaiko ei – eli onko gravitaatiota vaiko ei. Jos aika-avaruus on kaareva, niin hissin kattoon nivottu tasainen pinta osoittaa eri suuntaan kuin lattiaan nivottu, palloesimerkin kieltä käyttääkseni. Tämän takia valon energia kasvaa tai pienenee, riippuen siitä meneekö se isomman vai pienemmän kaarevuuden suuntaan.
Tarinassa on sellainen yksityiskohta, että itse asiassa valon (mutta ei muun aineen) liikettä kuvaavat yhtälöt riippuvat kaarevuudesta paikallisestikin, mikä on yksi tämänhetkisistä tutkimuskohteistani. Tämä havainnollistaa sitä, että fysiikan teorioiden löytämisessä käytetyt periaatteet ovat rakennustelineitä: kun teoria on valmis, niitä ei tarvita. Joskus teoria toteuttaa periaatteet täysin, kuten heikon ekvivalenssiperiaatteen tapauksessa. Toisinaan alkuperäinen ajatus ei ollut täysin oikein, kuten vahvan ekvivalenssiperiaatteen tapauksessa. Teorian matemaattinen rakenne kertoo mitkä periaatteet toteutuvat ja mitä seurauksia niistä on, ja havainnot kertovat kuvaako tämä matemaattinen rakenne todellisuutta, eli onko päädytty oikeaan teoriaan.
Päivitys (19/04/24): Yksi katto korjattu lattiaksi.
”Tämä on esimerkki siitä, miten samalla kun fysiikan teorioiden kehitys kulkee kohti matemaattista hienostuneisuutta, niissä olevien oletusten määrä putoaa, ja asioista tulee teorian puitteissa yksinkertaisempia.”
Olisiko mahdollista, että tulevaisuuden teorian selittävät valon nopeuden invarianssin? Nythän se on jokseenkin järjenvastainen ilmiö.
”Tarinassa on sellainen yksityiskohta, että itse asiassa valon (mutta ei muun aineen) liikettä kuvaavat yhtälöt riippuvat kaarevuudesta paikallisestikin, mikä on yksi tämänhetkisistä tutkimuskohteistani.”
Saako tuosta mitään analogiaa Heisenbergin mikroskooppiin? Avaruuden läpi ammutaan fotoneita joka suunnasta ja siten yritetään muodostaa alueen ”topografista karttaa”. Lisäksi voisi nojatuoliteorisoida, että mitä energeettisempi fotoni niin sitä paremmin se reagoi kaarevuuteen, mutta toisaalta vaikuttaa voimakkaammin itse kaarevuuteen, jota ollaan mittaamassa.
”Teorian matemaattinen rakenne kertoo mitkä periaatteet toteutuvat ja mitä seurauksia niistä on, ja havainnot kertovat kuvaako tämä matemaattinen rakenne todellisuutta, eli onko päädytty oikeaan teoriaan.”
Mutta mites kun Schrödingerin yhtälöä pidetään kvanttiteorian postulaattina; eikö myös kvanttimekaniikassakin matemaattiset yhtälöt pidä johtaa joistakin ilmiöpohjaisista periaatteista?
Se, että valon nopeus on sama kaikille havaitsijoille selittyi vuonna 1905 kun Albert Einstein löysi suppean suhteellisuusteorian.
Ei, asia ei liity Heisenbergin mikroskooppina tunnettuun ajatuskokeeseen.
Perustavanlaatuisia fysiikan lakeja ei (ihan määritelmän mukaan) voi johtaa mistään. Tarkemmin, ks.https://web.archive.org/web/20220618081432/http://www.tiede.fi/blogit/maailmankaikkeutta_etsimassa/perustuslakien_saatamisjarjestys
Oletan, että halusit verrata hissin lattiaa ja kattoa – ei kattoa ja kattoa. 🙂
Tiedämme aineen jakautuvan kvantittuneisiin 3-elementteihin, alkeishiukkasiin ja viritystiloihin. Millainen olisi aika-avaruuden kvantittunut 4-elementti? Voisiko sillä yleensä olla mitään fysikaalisesti merkityksellisiä mittoja? Voiko valoa hitaammista elementeistä olla ollenkaan aika-avaruuden rakennuspalikoiksi? Kuinka jakaisi invariantin 4-intervallin kahden tapahtuman välillä diskreetisti osiin? Klein-Gordon -aaltopakettihilalla on äärellinen virheensä johtuen juurikin fysikaalisuusjumista… Jos spekulatiivinen aika-avaruuskvantti joskus konsistentisti löydettäisiin, voisiko kuitenkin valonlaatuisilla vaikutuksilla olla parhaat edellytykset toimia elementteinä?
Tosiaan, kiitos, korjasin.
Virkkeesi, joka alkaa sanalla ”Tiedämme” ei pidä paikkaansa.
Aika-avaruuden ainesosista hieman täällä:
https://www.ursa.fi/blogi/kosmokseen-kirjoitettua/aika-avaruuden-ainesosat/
https://www.ursa.fi/blogi/kosmokseen-kirjoitettua/aika-avaruuden-atomit/
Mitä tarkoittanee: ”Jos aika-avaruus on kaareva, niin hissin kattoon nivottu tasainen pinta osoittaa eri suuntaan kuin kattoon nivottu” ?
Tulkitsen termiä paikallisuus mukana kulkevana koordinaatistona, kiihtyvässä liikkeessä olevana kehyksenä kuten putoavana hissinä. Koordinaatiston kiihtyvä liike ilmenee valossa suunnasta riippuvana energiatason muutoksena, joskus gravitaation vaikutus samaistetaan paikallaanolon sijasta kiihtyvään liikkeeseen. Ilmeneekö valon energiatason muutos kiihtyvässä kehyksessä muilla keveillä hiukkasilla kuten neutriinoilla?
Toisen pitäisi olla lattia, ei katto. Korjasin.
Kyllä, kiihtyvä liike näkyy periaatteessa kaikkien hiukkasten käytöksessä.
” Jos aika-avaruus on kaareva, niin hissin kattoon nivottu tasainen pinta osoittaa eri suuntaan kuin kattoon nivottu, palloesimerkin kieltä käyttääkseni.”
Onkos tässä lauseessa jokin kieliopillinen kömmähdys: niin ”hissin kattoon nivottu” tasainen pinta osoittaa eri suuntaan kuin ”kattoon nivottu” ? Itse ajatuksen ymmärsin kyllä.
Tosiaan, kiitos, korjasin. Pahoittelen korjauksen viipymistä, blogien uudelleen asentamisen myötä minulle ei enää tullut sähköpostitse tietoa kommenteista.
Sivuaako tutkimusaihe sitä onko suora viiva aina lyhin matka?
Ei – mutta kylläkin sitä, kulkeeko valo suorinta reittiä.
”Einstein etsi matemaattista rakennetta, joka toteuttaisi nämä periaatteet. Hän päätyi siihen, että gravitaatiossa ei ole kyse voimasta, vaan aika-avaruuden kaarevuudesta. Aine kaareuttaa aika-avaruutta, ja kappaleet joihin ei vaikuta voimia, liikkuvat suorilla viivoilla kaarevassa aika-avaruudessa.”
Onko tuo ”kaarevuus = voima” yleinenkin teema fysiikassa? Esimerkiksi kvanttimekaniikassa mitä enemmän kaareutunut aaltofunktio on niin sitä enemmän siihen on latautunut sisäistä voimaa, joka pyrkii levittämään ko. aaltoa; kvanttipotentiaalitermissäkin on mukana kaarevuutta kuvaava Laplacen operaattori. Tuikitavallinen aaltoyhtälökin tuntuu noudattavan tätä periaatetta: (kaarevuus/Laplace) = (vakio)x(kiihtyvyys) = (voima).
En ole alan ekspertti, mutta ilmeisesti Einsteinin oletti jo 1912, että staattisen painovoimakentän tapauksessa potentiaalin kaarevuus vastaa sekä massan että painovoimakentän energiatiheyttä. Sen jälkeen hän alkoi työstämään geometristä esitystä, https://arxiv.org/pdf/2311.04612.pdf
Tosiaan, kiitos, korjasin.
Yleinen suhteellisuusteoria ei sano, että ”kaarevuus=voima”, vaan sen mukaan aika-avaruuden kaarevuus ja voima ovat aivan eri asioita.